lesson-2026-02-25
ISTITUZIONI DI GEOMETRIA - 2026
Varietà, obbiettivo: relatività generale,
Ricevimento: Mer 14:30.
L'obiettivo del corso è lo studio delle varietà fino ad arrivare alle varietà Riemanniane e varietà Lorentziane, con applicazioni alla relatività generale.
Introduzione alle Varietà
DEF1: Una n-VARIETA` TOP. e` uno sp. top. X, hausdorff, a base numerabile, localmente omeom. a R^n.
∃ V_i, V_2, ... aperti t.c. ∀x ∈ X ∃ U(x) ≅ R^n (int. aperto di x).
qlss. e` loro unione
Definizione. Una n-varietà topologica è uno spazio topologico X che sia di Hausdorff, a base numerabile e localmente omeomorfo a \mathbb{R}^n. Questo significa che per ogni punto x \in X esiste un intorno aperto U(x) omeomorfo a un aperto di \mathbb{R}^n.
Se uno ha gia` fatto GTD si vede gst def.
Nota. Questa definizione è standard per chi ha già seguito il corso di Geometria e Topologia Differenziale (GTD).
DEF2: Una n. varieta` e` un sottoinsieme S ⊆ R^N N ≥ n tale che ...
e.g. imm. di mappe fatte bene...
Definizione. Una n-varietà può essere definita come un sottoinsieme S \subseteq \mathbb{R}^N (con N \ge n) che sia localmente l'immagine di "buone" applicazioni (ossia immersioni o parametrizzazioni locali).
Whitney ~ 1930: vediamo ora una def. intrinseca e che ci permette di fare derivate.
Nota Storica. Intorno al 1930, Whitney introdusse una definizione intrinseca di varietà che prescinde dall'immersione in uno spazio euclideo e consente di estendere il calcolo differenziale (derivazione).
DEF3: M n-varieta` topologica. Una CARTA e` un omeom. φ: U → V con U ⊆ M e V ⊆ R^n aperto.
Definizione. Sia M una n-varietà topologica. Una carta su M è un omeomorfismo \varphi \colon U \to V, dove U \subseteq M è un aperto e V \subseteq \mathbb{R}^n è un aperto.
Un ATLANTE A = {φ_i: U_i → V_i}_{i ∈ I} insieme di carte tc. ∪_{i ∈ I} U_i = M.
Definizione. Un atlante \mathcal{A} = \{ (U_i, \varphi_i) \}_{i \in I} su M è una famiglia di carte tale che gli intorni U_i ricoprano interamente M, ossia \bigcup_{i \in I} U_i = M.
Dato un atlante A, se U_i ∩ U_j ≠ ∅ otteniamo una MAPPA DI TRANSIZIONE φ_{ij}: φ_i(U_i ∩ U_j) → φ_j(U_i ∩ U_j)
Definizione. Siano (U_i, \varphi_i) e (U_j, \varphi_j) due carte di un atlante tali che U_i \cap U_j \neq \emptyset. La mappa di transizione (o cambiamento di coordinate) è l'applicazione \varphi_{ij} = \varphi_j \circ \varphi_i^{-1} definita dall'insieme \varphi_i(U_i \cap U_j) all'insieme \varphi_j(U_i \cap U_j). Queste mappe sono omeomorfismi tra aperti di \mathbb{R}^n.
L'atlante A e` LISCIO se ogni φ_{ij} e` liscia, cioe` C^∞.
Definizione. Un atlante \mathcal{A} si dice liscio (o di classe C^\infty) se tutte le sue mappe di transizione sono applicazioni lisce.
Def: Due atlanti lisci A, A' sono COMPATIBILI se A ∪ A' e` ancora un atlante liscio.
Definizione. Due atlanti lisci \mathcal{A} e \mathcal{A}' si dicono compatibili se la loro unione \mathcal{A} \cup \mathcal{A}' è ancora un atlante liscio (ossia se i cambiamenti di coordinate tra carte di \mathcal{A} e carte di \mathcal{A}' sono lisci).
Un atlante e` MASSIMALE, se contiene tutti gli atlanti compatibili con lui.
Definizione. Un atlante liscio si dice massimale se contiene ogni altra carta compatibile con esso. Un atlante massimale definisce una struttura liscia sulla varietà.
Oss: Ogni atlante liscio e` contenuto in un unico atlante massimale, che si ottiene aggiungendo tutti gli atlanti compatibili con lui.
Nota. Ogni atlante liscio è contenuto in un unico atlante massimale, il quale si ottiene aggregando tutte le possibili carte che siano compatibili con l'atlante di partenza.
Def: Una STRUTTURA LISCIA su una n-varieta` top. M e` un atlante liscio massimale per M.
Definizione. Una struttura liscia su una varietà topologica M è la scelta di un un atlante liscio massimale.
Esempi: Concretamente si definisce 1) Una varieta` topologica M e 2) Un atlante liscio A su M. Lui det. un atlante massimale.
Nota. Per definire in pratica una struttura liscia su M, è sufficiente fornire un qualunque atlante liscio \mathcal{A}, il quale determina univocamente l'atlante massimale che lo contiene.
1) U ⊆ R^n aperto, A = { id: U → U }
Esempio 1. Se U \subseteq \mathbb{R}^n è un aperto, l'atlante formato dalla sola mappa identità id \colon U \to U definisce la struttura liscia standard di U.
Def: Una VARIETA` LISCIA e` una varieta` top. munita di struttura liscia.
Definizione. Una varietà liscia è una varietà topologica dotata di una struttura liscia.
2) Se M e` una varieta` liscia, ogni aperto U ⊆ M eredita una struttura di varieta` liscia.
(Ex: M varieta` topologica => U varieta` topologica)
Definisco un atlante liscio su U restringendo le carte dell'atlante massimale di M.
A_U := { φ|_U : U ∩ V → φ(U ∩ V) | φ: V → W ∈ A }
Esempio 2. Se M è una varietà liscia, ogni suo sottoinsieme aperto U \subseteq M eredita naturalmente una struttura di varietà liscia. L'atlante di U si ottiene restringendo le carte dell'atlante di M all'aperto U. Più precisamente, se \mathcal{A} è l'atlante di M, un atlante per U è \mathcal{A}_U = \{ (V \cap U, \varphi|_{V \cap U}) \mid (V, \varphi) \in \mathcal{A} \}.
3) Sfera S^n := { x ∈ R^{n+1} | ||x|| = 1 }
(Ex: S^n e` una varieta` top.)
Assegnamoli anche una struttura liscia naturale:
∀i = 1, ..., n+1: U_i^\pm = { x ∈ S^n | ± x^i > 0 }
Esempio 3 (La sfera S^n). Si consideri la sfera S^n = \{ x \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \|x\| = 1 \}. Questa è una varietà topologica. Per dotarla di una struttura liscia naturale, definiamo i 2(n+1) aperti U_i^\pm = \{ x \in S^n \mid \pm x^i > 0 \} per i = 1, \dots, n+1 (dove la notazione con l'indice alto x^i anticipa la notazione tensoriale).
{ U_i^\pm } sono 2n+2 aperti che ric. S^n.
Definiamo ora le mappe
φ_i^\pm : U_i^\pm → B^n ⊆ R^n ( B^n = { x ∈ R^n | ||x|| < 1 } )
(x^1, ..., x^{n+1}) ↦ (x^1, ..., \hat{x}^i, ..., x^{n+1})
(φ_i^\pm)^-1 : B^n → S^n
(y^1, ..., y^n) ↦ (y^1, ..., y^{i-1}, ± \sqrt{1 - ||y||^2}, y^{i+1}, ..., y^n)
Definizione. Questi aperti ricoprono S^n. Le carte proiezioni coordinate sono definite da \varphi_i^\pm \colon U_i^\pm \to B^n, dove B^n è la palla unitaria in \mathbb{R}^n, tramite la proiezione che omette l'i-esima coordinata:
\varphi_i^\pm(x^1, \dots, x^{n+1}) = (x^1, \dots, \hat{x}^i, \dots, x^{n+1})
L'inversa è data da:
(\varphi_i^\pm)^{-1}(y^1, \dots, y^n) = (y^1, \dots, y^{i-1}, \pm \sqrt{1 - \|y\|^2}, y^{i+1}, \dots, y^n)
Si può verificare che i cambiamenti di coordinate sono lisci (essendo composizioni di radici e polinomi laddove l'argomento della radice è positivo).
Costruzione alternativa: Con solo due carte:
Disegno sfera con punto N e punto x, piano sotto con φ(x).
N = (0, ..., 0, 1), U := S^n \ { N }, φ_N : U → R^n
S = (0, ..., 0, -1), U' := S^n \ { S }, φ_S : U' → R^n
=> A' := { φ_N, φ_S } e` liscio.
A e A' sono compat. => definiscono la stessa struttura differenziabile su S^n.
Costruzione alternativa (Proiezione stereografica). È possibile definire un atlante per S^n composto da sole due carte: la proiezione stereografica dal polo nord N e quella dal polo sud S. L'atlante \mathcal{A}' = \{ (S^n \setminus \{ N \}, \varphi_N), (S^n \setminus \{ S \}, \varphi_S) \} è liscio e risulta compatibile con l'atlante delle proiezioni coordinate \mathcal{A}, definendo così la medesima struttura differenziabile.
4) SPAZI PROIETTIVI. V sp. vett. su K = R oppure C di dimensione finita.
P(V) = { v ∈ V, v ≠ 0 } / ~ , v ~ λv ∀λ ∈ K λ ≠ 0.
Esempio 4 (Spazi proiettivi). Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo \mathbb{K} (dove \mathbb{K} = \mathbb{R} oppure \mathbb{K} = \mathbb{C}). Lo spazio proiettivo \mathbb{P}(V) è l'insieme delle rette passanti per l'origine in V, ossia il quoziente di V \setminus \{ 0 \} rispetto alla relazione di equivalenza v \sim \lambda v per ogni \lambda \in \mathbb{K} \setminus \{ 0 \}.
Def: K P^n := P(K^{n+1}) e` lo SP. PROIETTIVO REALE / COMPLESSO di dim. n.
Ex: RP^n, CP^n sono varieta` top. di dim. n, 2n connesse e compatte.
Definizione. Si definisce \mathbb{K}\mathbb{P}^n come \mathbb{P}(\mathbb{K}^{n+1}). Si tratta di una varietà topologica di dimensione reale n (se \mathbb{K} = \mathbb{R}) o 2n (se \mathbb{K} = \mathbb{C}). Tali spazi sono connessi e compatti.
Costruiamo un atlante liscio per entrambi.
Ogni P ∈ K P^n ha coord. omogenee [x_1, ..., x_{n+1}]
U_i := { x_i ≠ 0 } ⊆ K P^n aperto ∀i = 1, ..., n+1
φ_i : U_i → R^n
[x_1, ..., x_{n+1}] ↦ (x_1/x_i, ..., x_{i-1}/x_i, x_{i+1}/x_i, ..., x_{n+1}/x_i)
φ_i^-1 : R^n → U_i
(y^1, ..., y^n) ↦ [y_1, ..., y_{i-1}, 1, y_i, ..., y_n]
φ_i e` omeom. => e` carta
A = { φ_i : U_i → R^n } atlante liscio.
Definizione. Indichiamo con [x_1, \dots, x_{n+1}] le coordinate omogenee di un punto in \mathbb{K}\mathbb{P}^n. Definiamo gli aperti U_i = \{ [x_1, \dots, x_{n+1}] \in \mathbb{K}\mathbb{P}^n \mid x_i \neq \emptyset \}. Su ciascun U_i definiamo la carta \varphi_i \colon U_i \to \mathbb{K}^n tramite divisione per l'i-esima coordinata:
\varphi_i([x_1, \dots, x_{n+1}]) = \left( \frac{x_1}{x_i}, \dots, \frac{x_{i-1}}{x_i}, \frac{x_{i+1}}{x_i}, \dots, \frac{x_{n+1}}{x_i} \right)
L'inversa mappa (y_1, \dots, y_n) \in \mathbb{K}^n nel punto con 1 in i-esima posizione:
\varphi_i^{-1}(y_1, \dots, y_n) = [y_1, \dots, y_{i-1}, 1, y_i, \dots, y_n]
Queste mappe sono omeomorfismi e l'atlante \mathcal{A} = \{ (U_i, \varphi_i) \} è liscio.
No prior topology: sia X un insieme
Def: Una CARTA e` φ_i : U_i → V_i biunivoca tra U_i ⊆ X sottoins. e V_i ⊆ R^n aperto.
Un ATLANTE su X e` A = { φ_i : U_i → V_i } carte tc. ∪ U_i = X.
L'atlante e` LISCIO se ∀i, j tc. U_i ∩ U_j ≠ ∅ abbiamo:
-) φ_i(U_i ∩ U_j), φ_j(U_i ∩ U_j) sono aperti di R^n
-) φ_{ij} e` liscia.
Definizione (No prior topology). È possibile definire una struttura liscia su un insieme X privo di topologia. Una carta è una funzione biunivoca \varphi_i \colon U_i \to V_i tra un sottoinsieme U_i \subseteq X e un aperto V_i \subseteq \mathbb{R}^n. Un atlante \mathcal{A} = \{ (U_i, \varphi_i) \} ricopre X. Tale atlante si dice liscio se, per ogni intersezione non vuota, gli insiemi \varphi_i(U_i \cap U_j) sono aperti e le mappe di transizione sono lisce.
Sia A un atlante liscio su X, definisco su X la top. piu` debole che rende le φ_i continue.
Concretamente: U ⊆ X e` aperto sse φ_i(U ∩ U_i) aperto in R^n ∀i.
Ex: Se X e` hausdorff e a base num. e` una varieta` top., con una struttura liscia data da A.
Dato un tale atlante liscio su X, si definisce su X la topologia indotta (la topologia più debole che renda continue tutte le carte \varphi_i). In questa topologia, un insieme U \subseteq X è aperto se e solo se tutte le sue immagini \varphi_i(U \cap U_i) sono aperte in \mathbb{R}^n. Se lo spazio X con questa topologia risulta di Hausdorff e a base numerabile, allora X è una varietà liscia.
5) GRASSMANNIANE. V sp. vett. su K = R o C con dim V = n. 1 ≤ k < n
Gr_k(V) = { k-sp. vett. di V }
Gr_1(V) = P(V) (Sono una generalizzazione del proiettivo)
Definizione. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n. Per 1 \le k < n, la Grassmanniana è definita come:
Gr_k(V) \coloneqq \{ W \subseteq V \mid \dim(W) = k \}
Si noti che Gr_1(V) coincide con lo spazio proiettivo \mathbb{P}(V).
Definiamo direttamente un atlante (che ci dara` anche la topologia).
Prendiamo B = { v_1, ..., v_n } base di V
W := span { v_1, ..., v_k }, Z = span { v_{k+1}, ..., v_n }
V = W ⊕ Z
U_B = { W' ∈ Gr_k(V) tc. W' ⊕ Z = V } ∋ W
Dimostrazione. Definiamo direttamente un atlante (che ci darà anche la topologia). Fissata una base \mathcal{B} = \{ v_1, \dots, v_n \} di V, poniamo:
W \coloneqq \mathrm{span}\{v_1, \dots, v_k\}, \quad Z \coloneqq \mathrm{span}\{v_{k+1}, \dots, v_n\}
in modo da avere la decomposizione in somma diretta V = W \oplus Z. Definiamo quindi l'intorno U_\mathcal{B} come l'insieme:
U_\mathcal{B} \coloneqq \{ W' \in Gr_k(V) \mid W' \oplus Z = V \} \ni W
Z x ... x Z (k volte) -F-> U_B. (Ex. e` biunivoca)
(z_1, ..., z_k) ↦ span { v_1 + z_1, ..., v_k + z_k }
U_B -F-> Z^k → (R^{n-k})^k = R^{k(n-k)}
Definiamo l'applicazione:
\begin{array}{rccc}
F \ \colon & Z^k & \to & U_\mathcal{B} \\[0.5em]
& (z_1, \dots, z_k) & \mapsto & \mathrm{span}\{ v_1 + z_1, \dots, v_k + z_k \}
\end{array}
Per esercizio si verifica che F è biunivoca. La carta \varphi_\mathcal{B} è quindi definita come l'inversa di F:
\begin{array}{rccc}
\varphi_\mathcal{B} \ \colon & U_\mathcal{B} & \to & Z^k \cong (\mathbb{R}^{n-k})^k \cong \mathbb{R}^{k(n-k)}
\end{array}
poiché \dim(Z) = n-k.
A = { φ_B : U_B → R^{k(n-k)} }
Ex. e` liscia => Gr_k(V) e` varieta` liscia.
L'insieme di tutte le carte al variare della base \mathcal{B} definisce l'atlante:
\mathcal{A} \coloneqq \{ \varphi_\mathcal{B} \colon U_\mathcal{B} \to \mathbb{R}^{k(n-k)} \}
Per esercizio si verifica che tale atlante è liscio; di conseguenza, la Grassmanniana Gr_k(V) è una varietà liscia di dimensione k(n-k).