lesson-2026-04-01
Campi Vettoriali
Prop: Dato $X \in \mathfrak{X}(M)$ tc. $X(p) \neq 0$, $\exists \varphi : U(p) \to \mathbb{R}^n$ carta tc. $\varphi_*(X|_U) = \frac{\partial}{\partial x^1}$.
Proposizione (Raddrizzamento). Sia X \in \mathfrak{X}(M) un campo vettoriale e sia p \in M un punto in cui X(p) \neq 0. Allora esiste una carta locale (U, \varphi) centrata in p tale che in tale carta il campo vettoriale (ristretto a U) sia costante e coincida con il primo vettore coordinato:
\varphi_*(X|_U) = \frac{\partial}{\partial x^1}
Dim: In una carta possiamo supporre $p=0$. $F(x^1, \dots, x^n) = \Phi((0, x^2, \dots, x^n), x^1)$
$\Phi$ flusso di X ha senso se $\|x\| \le \varepsilon$.
$dF_0 = \text{id}$. Infatti $F|_{x^1=0} = \text{id} \Rightarrow dF_0(e^i) = e^i$ per $i \ge 2$.
$dF_0(e^1) = e^1$ perché $e^1 = \gamma(0), \gamma(t) = te^1$.
$F \circ \gamma$ è linea integrale di X $\Rightarrow dF_0(e^1) = X(0) = e^1$.
F è diffeo. loc. in 0 $\Rightarrow F^{-1}$ carta. In questa carta X diventa $\frac{\partial}{\partial x^1}$ perché le linee integrali di X diventano $\gamma(t) = x + te^1$.
Dimostrazione. Senza perdita di generalità, lavoriamo in una carta dove p=0 e, a meno di una rotazione del campo vettoriale (o delle coordinate), X(0) = \partial/\partial x^1. Definiamo una mappa F che prende un punto dell'iperpiano \{x^1=0\} e lo trasporta lungo il flusso \Phi di X per un tempo x^1:
F(x^1, x^2, \dots, x^n) = \Phi_{x^1}(0, x^2, \dots, x^n)
Il differenziale \mathrm dF_0 è l'identità. Infatti:
- Per i \ge 2, la restrizione di F all'iperpiano \{x^1=0\} è l'identità, ossia F(0, x^2, \dots, x^n) = (0, x^2, \dots, x^n), il che implica \mathrm dF_0(e^i) = \frac{\partial F}{\partial x^i}(0) = e^i.
- Per i = 1, se consideriamo la curva coordinata \gamma(t) = t e^1 = (t, 0, \dots, 0) con \gamma'(0) = e^1, la sua immagine tramite F è la linea integrale del flusso (F \circ \gamma)(t) = \Phi_t(0). Derivando rispetto a t in t=0 e ricordando che il flusso soddisfa l'equazione differenziale \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Phi_t(q) = X(\Phi_t(q)), otteniamo: \mathrm dF_0(e^1) = \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \right|_{t=0} (F \circ \gamma)(t) = \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \right|_{t=0} \Phi_t(0) = X(\Phi_0(0)) = X(0) = e^1
Essendo \mathrm dF_0 = \mathrm{id}, per il teorema della funzione inversa F è un diffeomorfismo locale in 0. Nella nuova carta definita da \varphi = F^{-1}, calcoliamo esplicitamente il campo vettoriale trasformato \varphi_*(X) in un punto y = (y^1, \dots, y^n). Se consideriamo la curva integrale \gamma(t) = \Phi_t(\varphi^{-1}(y)) di X che parte da \varphi^{-1}(y), tramite la definizione di push-forward si ha:
\begin{aligned}
\varphi_*(X)(y) &= \mathrm d\varphi_{\varphi^{-1}(y)}(X(\varphi^{-1}(y))) && \small \text{(def. push-forward)} \\
&= \mathrm d\varphi_{\varphi^{-1}(y)}\left( \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \right|_{t=0} \Phi_t(\varphi^{-1}(y)) \right) && \small \text{(prop. di ODE del flusso)} \\
&= \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \right|_{t=0} \varphi(\Phi_t(\varphi^{-1}(y))) && \small \text{(def. di differenziale di una curva)} \\
&= \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \right|_{t=0} F^{-1}(\Phi_t(F(y))) && \small \text{(essendo } \varphi = F^{-1}\text{)}
\end{aligned}
Poiché F(y) = \Phi_{y^1}(0, y^2, \dots, y^n), per le proprietà di gruppo del flusso si ha \Phi_t(F(y)) = \Phi_{t+y^1}(0, y^2, \dots, y^n) = F(t+y^1, y^2, \dots, y^n). Sostituendo:
\begin{aligned}
\varphi_*(X)(y) &= \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \right|_{t=0} F^{-1}(F(t+y^1, y^2, \dots, y^n)) \\
&= \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \right|_{t=0} (t+y^1, y^2, \dots, y^n) \\
&= (1, 0, \dots, 0) \\
&= e^1
\end{aligned}
Questo implica che le linee integrali del campo vettoriale diventano, in coordinate, le rette parallele al primo asse coordinato, e dunque \varphi_*(X) = \frac{\partial}{\partial x^1}.
Bracket di Lie
Def: $X, Y \in \mathfrak{X}(M)$, $[X, Y] \in \mathfrak{X}(M)$ è l'unico campo per cui $[X, Y]f := XYf - YXf \quad \forall f \in \mathcal{C}^\infty(U) \ \forall U \subseteq M \text{ aperto}$.
Definizione. Dati due campi vettoriali X, Y \in \mathfrak{X}(M), il loro bracket di Lie [X, Y] è l'unico campo vettoriale la cui azione come derivazione sulle funzioni f è data dal commutatore:
[X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf)
Oss: $X \in \mathfrak{X}(M) \ f, g \in \mathcal{C}^\infty(U)$
-) $X(fg) = (Xf)g + f(Xg) \quad$ Leibnitz
-) $[X, Y](fg) = XY(fg) - YX(fg) = \dots = g [X, Y]f + f [X, Y]g$
$\Rightarrow [X, Y]$ soddisfa Leibnitz.
Dimostrazione (Buona definizione). Siano X, Y \in \mathfrak{X}(M) e f, g \in \mathcal{C}^\infty(U).
- La regola di Leibniz per X è data da: X(fg) = (Xf)g + f(Xg)
- Calcoliamo esplicitamente l'azione di XY sul prodotto fg: \begin{aligned} XY(fg) &= X((Yf)g + f(Yg)) \\ &= (XYf)g + (Yf)(Xg) + (Xf)(Yg) + f(XYg) \end{aligned} Simmetricamente, scambiando X e Y si ha: YX(fg) = (YXf)g + (Xf)(Yg) + (Yf)(Xg) + f(YXg) Sottraendo le due espressioni, i termini misti con le derivate prime si cancellano, e otteniamo: [X, Y](fg) = XY(fg) - YX(fg) = ([X, Y]f)g + f([X, Y]g) Questo mostra che [X, Y] soddisfa la regola di Leibniz ed è pertanto un campo vettoriale.
Quindi ha senso definire $[X, Y](p)(f) := ([X, Y]f)(p) \quad \forall f \in \mathcal{C}^\infty(U(p))$
ovvero $[X, Y](p)$ è una derivazione.
Di conseguenza, ha senso definire il valore di [X, Y] nel punto p tramite l'azione sulle funzioni locali f \in \mathcal{C}^\infty(U(p)):
[X, Y](p)(f) := ([X, Y]f)(p)
Questo definisce una derivazione al punto p, ovvero un vettore tangente [X, Y](p) \in T_pM.
Proposizione (Bilinearità del bracket di Lie). Il bracket di Lie è bilineare rispetto al campo dei reali \mathbb{R}. Soddisfa cioè l'additività e l'omogeneità rispetto agli scalari reali in entrambi gli argomenti:
[X_1 + X_2, Y] = [X_1, Y] + [X_2, Y], \quad [aX, Y] = a[X, Y] \quad \forall a \in \mathbb{R}
Per induzione, per combinazioni lineari finite di campi vettoriali a coefficienti reali a_i, b_j \in \mathbb{R} vale la regola di espansione:
\left[ \sum_{i=1}^k a_i U_i, \sum_{j=1}^m b_j V_j \right] = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^m a_i b_j [U_i, V_j]
Dimostrazione. Valutiamo l'azione del bracket su una generica funzione f \in \mathcal{C}^\infty(U):
- Additività: \begin{aligned} [X_1 + X_2, Y]f &= (X_1 + X_2)(Yf) - Y((X_1 + X_2)f) \\ &= X_1(Yf) + X_2(Yf) - Y(X_1f + X_2f) \\ &= X_1(Yf) - Y(X_1f) + X_2(Yf) - Y(X_2f) \\ &= [X_1, Y]f + [X_2, Y]f \end{aligned} L'additività sul secondo argomento segue in modo analogo (oppure per antisimmetria).
- Omogeneità: Per ogni costante reale a \in \mathbb{R}, ricordando che i campi agiscono come operatori \mathbb{R}-lineari (per cui Y(ag) = a Y(g)), si ha: \begin{aligned} [aX, Y]f &= (aX)(Yf) - Y((aX)f) \\ &= a X(Yf) - Y(a (Xf)) \\ &= a X(Yf) - a Y(Xf) \\ &= a (X(Yf) - Y(Xf)) = a [X, Y]f \end{aligned} L'omogeneità sul secondo argomento segue in modo analogo.
La formula di espansione generale segue per induzione lineare combinando le proprietà di additività e omogeneità.
Def: Un'ALGEBRA DI LIE è uno spazio vettoriale reale A munito di operazione $[,]: A \times A \to A$ bilineare antisimmetrica su cui vale l'ID. DI JACOBI:
$[[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 \quad \forall x, y, z \in A$.
Definizione. Un'algebra di Lie è uno spazio vettoriale reale \mathfrak{a} dotato di un'operazione bilineare antisimmetrica [\cdot, \cdot] \colon \mathfrak{a} \times \mathfrak{a} \to \mathfrak{a} che soddisfa l'identità di Jacobi:
[[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 \quad \forall x, y, z \in \mathfrak{a}
Ex: $\mathfrak{X}(M)$ è un'algebra di Lie con $[,]$.
Esempio. Lo spazio dei campi vettoriali \mathfrak{X}(M) munito del bracket di Lie è un'algebra di Lie (di dimensione infinita).
Ex: Se $X, Y \in \mathfrak{X}(U), U \subseteq \mathbb{R}^n \quad [X, Y]^j = X^i \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} - Y^i \frac{\partial X^j}{\partial x^i}$
Esercizio. In una carta locale U \subseteq \mathbb{R}^n, le componenti del bracket di Lie [X, Y] sono espresse tramite le derivate parziali delle componenti dei campi:
[X, Y]^j = \sum_{i=1}^n \left( X^i \frac{\partial Y^j}{\partial x^i} - Y^i \frac{\partial X^j}{\partial x^i} \right)
Cor: Se $X = \frac{\partial}{\partial x^i}$ allora $[X, Y] = \frac{\partial Y}{\partial x^i}$
Corollario. Se uno dei due campi è un campo coordinato X = \partial/\partial x^i, il bracket di Lie si riduce alla derivata parziale dell'altro campo: [ \partial/\partial x^i, Y ] = \partial Y / \partial x^i.
Cor: $[\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}] = 0$
Corollario. I campi coordinati commutano sempre tra loro: [\partial/\partial x^i, \partial/\partial x^j] = 0.
Es: $M(n) \ni A, B \quad [A, B] := AB - BA$ ed $M(n)$ diventa un'algebra di Lie.
Ex: $A, B \in M(n) \ X(x) = Ax \ Y(x) = Bx \Rightarrow [X, Y](x) = (BA - AB)(x)$
Esempio. Lo spazio delle matrici quadrate M(n, \mathbb{R}) è un'algebra di Lie rispetto al commutatore di matrici [A, B] = AB - BA. Se associamo a ogni matrice un campo vettoriale lineare X_A(x) = Ax, si osserva che il bracket di Lie dei campi corrisponde (a meno di un segno) al commutatore delle matrici: [X_A, X_B] = X_{[B, A]}.
Ex: $X, Y \in \mathfrak{X} \ f, g \in \mathcal{C}^\infty(M)$
$[fX, gY] = fg [X, Y] + f(Xg)Y - g(Yf)X$
Esercizio. Il bracket di Lie non è \mathcal{C}^\infty(M)-lineare, ma soddisfa una variante della regola di Leibniz quando i campi sono moltiplicati per funzioni:
[fX, gY] = fg[X, Y] + f(Xg)Y - g(Yf)X
Cor: $[fX, gY](p) \in \text{Span}(X(p), Y(p), [X, Y](p))$
Corollario. In ogni punto p, il vettore [fX, gY]_p appartiene sempre allo spazio generato dai vettori X_p, Y_p e [X, Y]_p.
Oss: $\varphi : M \xrightarrow{\sim} N$ diffeo. $X, Y \in \mathfrak{X}(M) \quad \varphi_*([X, Y]) = [\varphi_* X, \varphi_* Y]$
Osservazione. Se \varphi è un diffeomorfismo, il push-forward preserva la struttura di algebra di Lie: la parentesi dei campi trasformati è uguale alla trasformata della parentesi originale.
Def: $f: M \to N$ liscia. $X \in \mathfrak{X}(M), Y \in \mathfrak{X}(N)$ sono f-CORRELATI se $\forall p \quad df_p(X(p)) = Y(f(p))$.
Definizione. Sia f : M \to N un'applicazione liscia. Un campo vettoriale X su M e un campo Y su N si dicono f-correlati se il differenziale di f trasporta i vettori di X in quelli di Y:
\mathrm df_p(X_p) = Y_{f(p)} \quad \forall p \in M
Es: f diffeo $\Rightarrow X$ e $f_*(X)$ sono correlati.
Esempio. Se f è un diffeomorfismo, ogni campo vettoriale X su M è f-correlato al suo push-forward f_*X su N.
Ex: Se $X_1, Y_1$ sono f-correlati, $X_2, Y_2$ sono f-correlati $\Rightarrow [X_1, X_2]$ e $[Y_1, Y_2]$ sono f-correlati.
Esercizio. Se X_1, Y_1 sono f-correlati e X_2, Y_2 sono anch'essi f-correlati, allora il bracket di Lie [X_1, X_2] è f-correlato al bracket [Y_1, Y_2].
Cor: $N \subseteq M$ sottovarietà, $X_1, X_2 \in \mathfrak{X}(N) \rightsquigarrow [X_1, X_2] \in \mathfrak{X}(N)$.
$\bar{X}_1, \bar{X}_2$ estensioni qualsiasi a $M$.
Per $p \in N \quad (X_1, X_2)(p) = [\bar{X}_1, \bar{X}_2](p)$ è vero.
Anche in $M$, sono f-correlati da $f: N \hookrightarrow M$.
Corollario. Se N è una sottovarietà di M, il bracket di Lie di due campi tangenti a N è ancora un campo tangente a N. Inoltre, il valore del bracket in un punto di N può essere calcolato usando estensioni arbitrarie dei campi su M. Questo è un caso particolare della proprietà di f-correlazione applicata all'inclusione i : N \hookrightarrow M.
Prop: $X, Y \in \mathfrak{X}(U) \ U \subseteq \mathbb{R}^n$, per $s, t$ abbastanza piccoli
$\psi_t(\phi_s(p)) - \phi_s(\psi_t(p)) = st [X, Y](p) + o(s^2+t^2)$
Proposizione. Siano X, Y \in \mathfrak{X}(U) con U \subseteq \mathbb{R}^n. Per s, t abbastanza piccoli, i flussi locali \phi_s e \psi_t dei due campi soddisfano:
\psi_t(\phi_s(p)) - \phi_s(\psi_t(p)) = st [X, Y](p) + o(s^2+t^2)
Def: $X, Y \in \mathfrak{X}(M)$ commutano $\iff [X, Y] \equiv 0$.
Due flussi $\phi, \psi$ commutano localmente se $\forall p \exists \varepsilon > 0$ tc. $\psi_t(\phi_s(p)) = \phi_s(\psi_t(p)) \quad \forall |s|, |t| < \varepsilon$.
Definizione. Due campi vettoriali X, Y \in \mathfrak{X}(M) commutano se il loro bracket di Lie è identicamente nullo, ovvero [X, Y] \equiv 0. Due flussi locali \phi e \psi commutano localmente se per ogni p \in M esiste \varepsilon > 0 tale che:
\psi_t(\phi_s(p)) = \phi_s(\psi_t(p)) \quad \forall |s|, |t| < \varepsilon
Prop: $X, Y \in \mathfrak{X}(M)$ commutano $\iff$ i loro flussi commutano loc.
Proposizione. Due campi vettoriali commutano se e solo se i loro flussi locali commutano.
Dim:
$(\Leftarrow)$ segue da prop.
$(\Rightarrow)$ $p \in M$
i) $X(p) = Y(p) = 0 \Rightarrow \phi_s(p) = \psi_t(p) = p$ commutano.
ii) $X(p) \neq 0 \rightsquigarrow$ in una carta $p=0, X = \frac{\partial}{\partial x^1}$.
$0 \equiv [X, Y] = \frac{\partial Y}{\partial x^1}$, per questa simmetria otteniamo:
$\phi(x, t) = x + te^1, \psi(x+ue_1, t) = \psi(x, t) + ue_1 \Rightarrow$ commutano.
Dimostrazione.
- \boxed{\Leftarrow} Segue immediatamente dalla formula per il difetto di commutazione vista in precedenza: se i flussi locali commutano, il membro sinistro si annulla, per cui anche il bracket di Lie [X, Y] deve essere nullo.
- \boxed{\Rightarrow} Sia p \in M. Distinguiamo due casi:
- Se X(p) = Y(p) = 0, allora \phi_s(p) = \psi_t(p) = p, quindi i flussi commutano banalmente.
- Se X(p) \neq 0, in una opportuna carta locale in cui p = 0 possiamo raddrizzare X, ponendo X = \frac{\partial}{\partial x^1}. Poiché 0 \equiv [X, Y] = \frac{\partial Y}{\partial x^1}, le componenti del campo Y non dipendono da x^1. Grazie a questa simmetria, i rispettivi flussi soddisfano: \phi_s(x) = x + s e_1, \quad \psi_t(x + u e_1) = \psi_t(x) + u e_1 da cui segue che i flussi commutano.
Ex: $X, Y$ completi, $[X, Y] \equiv 0 \iff \psi_t \circ \phi_s = \phi_s \circ \psi_t \quad \forall s, t \in \mathbb{R}$.
Esercizio. Se sia X che Y sono completi, i loro flussi \phi e \psi commutano localmente se e solo se commutano globalmente, ovvero:
\phi_s(\psi_t(p)) = \psi_t(\phi_s(p)) \quad \forall p \in M, \ \forall s, t \in \mathbb{R}
Prop (Raddrizzamento simultaneo di campi): $X_1, \dots, X_k \in \mathfrak{X}(M)$
Dato $p \in M, \exists \varphi : U(p) \xrightarrow{\sim} \mathbb{R}^n$ tc. $\varphi_*(X_i) = \frac{\partial}{\partial x^i}$
$\iff$ 1) $X_1(p), \dots, X_k(p)$ indip.
2) $[X_i, X_j] \equiv 0$ in un int. di p.
Proposizione (Raddrizzamento simultaneo di campi). Siano X_1, \dots, X_k \in \mathfrak{X}(M). Dato p \in M, esiste una carta locale \varphi \colon U(p) \to \mathbb{R}^n tale che \varphi_*(X_i) = \frac{\partial}{\partial x^i} per ogni i = 1, \dots, k se e solo se:
- i vettori tangenti X_1(p), \dots, X_k(p) sono linearmente indipendenti;
- [X_i, X_j] \equiv 0 in un intorno di p per ogni i, j = 1, \dots, k.
Dim: [=>] $\left[ \frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j} \right] = 0 \quad \forall i, j$.
[<=] Prendiamo carte tc. $p=0, X_i(0) = \frac{\partial}{\partial x^i}$.
Dimostrazione.
\boxed{\Rightarrow} Questa implicazione è immediata: se esiste una carta locale in cui X_i = \partial / \partial x^i per ogni i = 1, \dots, k, allora i campi sono banalmente indipendenti e commutano poiché le derivate parziali commutano.
\boxed{\Leftarrow} Per la sufficienza, sia p \in M. Scegliamo una carta locale centrata in p (cioè p = 0) in cui X_i(0) = e^i = \partial / \partial x^i|_0 per i = 1, \dots, k.
$F(x^1, \dots, x^n) = \Phi^k_{x^k} \circ \dots \circ \Phi^2_{x^2} \circ \Phi^1_{x^1}(0, \dots, 0, x^{k+1}, \dots, x^n)$
$\Phi_t^i := \text{flusso di } X_i \text{ è definita per } \|x\| < \epsilon$
Siano \Phi_t^i i flussi locali dei campi vettoriali X_i, definiti in un intorno di 0 per tempi piccoli |t| < \varepsilon. Definiamo la mappa locale:
F(x^1, \dots, x^n) = \Phi_{x^k}^k \circ \dots \circ \Phi_{x^1}^1 (0, \dots, 0, x^{k+1}, \dots, x^n)
Grazie alla commutatività locale dei flussi, l'ordine di composizione dei flussi è ininfluente.
$dF_0 = id. \quad F|_{\{x_1 = \dots = x_k = 0\}} = id \Rightarrow dF_0(e^i) = e^i \quad \forall i > k$.
$1 \le i \le k :$
$F(te^i) = F(0, \dots, 0, t, 0, \dots, 0) = \Phi^i_t(0) = \gamma^i_0(t)$
$dF_0(e^i) = X^i(0) = e^i$
$F$ diffeo loc. in 0
{ principio IKEA: dobbiamo usare tutte le ipotesi
Calcoliamo il differenziale \mathrm dF_0 all'origine mostrando che coincide con l'identità:
- Per la restrizione al sottospazio \{x^1 = \dots = x^k = 0\}, poiché ciascun flusso a tempo zero agisce come l'identità (\Phi_0^i = \text{id}), la mappa F coincide con l'identità, per cui si ha: \mathrm dF_0(e^i) = e^i \quad \forall i > k
- Per 1 \le i \le k, valutando lungo la direzione e^i, si ha F(t e^i) = F(0, \dots, 0, t, 0, \dots, 0) = \Phi_t^i(0) = \gamma^i_0(t) (la curva integrale di X_i uscente dall'origine). Dunque: \mathrm dF_0(e^i) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big|_{t=0} \Phi_t^i(0) = X_i(0) = e^i
Di conseguenza, il differenziale all'origine \mathrm dF_0 è l'applicazione identità. Per il teorema della funzione inversa, F è un diffeomorfismo locale in un intorno dell'origine.
Mostriamo che $F^{-1}$ manda $X^i$ in $\frac{\partial}{\partial x^i} \quad \forall i=1, \dots, k$, caso $i=k$.
$F(x + t e^k) = \Phi^k_{x^k + t}(p)$
$\Rightarrow F$ manda le linee integrali di $\frac{\partial}{\partial x^k}$ in quelle di $X^k$.
$\Rightarrow F$ manda $\frac{\partial}{\partial x^k}$ in $X^k$.
Per gli altri uso che commutano.
Mostriamo ora che la mappa inversa F^{-1} manda i campi X_i nei campi coordinati \partial / \partial x^i, cioè che F_*(\partial / \partial x^i) = X_i per ogni i = 1, \dots, k.
Consideriamo prima il caso i = k. Per definizione di F, si ha:
F(x + t e^k) = \Phi_{x^k + t}^k(p)
dove p = \Phi_{x^{k-1}}^{k-1} \circ \dots \circ \Phi_{x^1}^1(0, \dots, 0, x^{k+1}, \dots, x^n). Si nota che la curva \Phi_{x^k + t}^k(p) è proprio una linea integrale per X_k.
che soddisfa il sistema di equazioni differenziali ordinarie:
\begin{cases}
\sigma'(t) = X_k(\sigma(t)) \\
\sigma(0) = F(x)
\end{cases}
dove \sigma(t) = F(x + t e^k), dato che per definizione di flusso si ha \sigma(0) = \Phi_{x^k}^k(p) = F(x) e:
\sigma'(t) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \Phi_{x^k+t}^k(p) = X_k(\Phi_{x^k+t}^k(p)) = X_k(\sigma(t))
Questo mostra che F mappa le linee integrali del campo coordinato \partial / \partial x^k nelle linee integrali di X_k. Vediamo ora anche che, valutando in t=0, per la definizione di push-forward otteniamo:
F_* \left( \frac{\partial}{\partial x^k} \right)\Big|_{F(x)} = \mathrm dF_x\left( \frac{\partial}{\partial x^k} \right) = \left. \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \right|_{t=0} F(x+t e^k) = X_k(F(x))
Pertanto, F_* \left( \frac{\partial}{\partial x^k} \right) = X_k.
Per gli altri indici i < k, il risultato segue analogamente sfruttando la commutatività dei flussi per portare \Phi_{x^i}^i in ultima posizione nella composizione prima di derivare rispetto a x^i.
Campi vettoriali su gruppi di Lie
G gruppo di Lie. $e \in G, \mathfrak{g} = T_eG$.
$v \in \mathfrak{g} \rightsquigarrow X \in \mathfrak{X}(G) \ X(g) := d(L_g)_e(v)$.
Oss: X è invariante a sx. cioè $(L_g)_*(X) = X$.
Definizione. Sia G un gruppo di Lie con elemento neutro e \in G e poniamo \mathfrak{g} = T_eG. Ogni vettore v \in \mathfrak{g} definisce un campo vettoriale X \in \mathfrak{X}(G) definendo:
X(g) := \mathrm d(L_g)_e(v)
Tale campo X è invariante a sinistra, ossia soddisfa:
(L_g)_*(X) = X \quad \forall g \in G
Tesi: $d(L_g)_h(X(h)) = X(L_g(h)) = X(gh)$
$X(gh) = d(L_{gh})_e(v) = d(L_g \circ L_h)_e(v) = d(L_g)_h \circ d(L_h)_e(v) = d(L_g)_h X(h)$
Verifica dell'invarianza. La proprietà segue direttamente dalla regola della catena applicata alla composizione delle traslazioni a sinistra L_{gh} = L_g \circ L_h:
X(gh) = \mathrm d(L_{gh})_e(v) = \mathrm d(L_g)_h(\mathrm d(L_h)_e(v)) = \mathrm d(L_g)_h(X(h))
Prop: È una sottoalgebra.
Proposizione. L'insieme dei campi vettoriali invarianti a sinistra forma una sottoalgebra di Lie di \mathfrak{X}(G).
Dim: $X, Y$ inv. a sx $\Rightarrow [X, Y]$ inv. a sx.
$X, Y$ inv. per $L_g \Rightarrow [X, Y]$ inv. per $L_g \ \forall g$
Dimostrazione. Siano X, Y due campi invarianti a sinistra. Poiché il differenziale di un diffeomorfismo (qui L_g) preserva il bracket di Lie, si ha (L_g)_*[X, Y] = [(L_g)_* X, (L_g)_* Y] = [X, Y]. Dunque anche [X, Y] è invariante a sinistra.